Уточнение деталей вопроса
Внутри параллелограмма взята точка. Эту точку соединили со всеми вершинами параллелограмма. Докажите, что сумма площадей двух треугольников, прилежащих к противоположным сторонам параллелограмма, составляет половину его площади.
Ответ на вопрос
Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм ABCD и точку P, соединенную со всеми его вершинами. Обозначим точки пересечения отрезков AP и CD, BP и AD, CP и AB, DP и BC как E, F, G и H соответственно.
Так как AD || BC и AP пересекает их в точках A и C, то треугольник ACP и треугольник BCD подобны. Аналогично, треугольник BDP и треугольник ACD подобны. Из подобия треугольников следует, что
AC/BC = AP/BD и BD/AC = BP/CD.
Умножим эти два равенства друг на друга:
AC/BC × BD/AC = AP/BD × BP/CD.
Сократим общий множитель AC/CD:
BD/BC = AP/CD × BP/BD.
Так как AP + PD = BP + PC (так как P соединена со всеми вершинами параллелограмма), то AP/CD = BP/BC и PD/CD = PC/BC. Подставим это в предыдущее равенство:
BD/BC = (AP/CD)².
Аналогично, можно доказать, что
AC/AD = (BP/BD)².
Теперь рассмотрим два треугольника: AEP и BFP. Они имеют общую высоту EP, а основания AE и BF равны соответственно AC и BD (так как треугольники ACP и BDP подобны). Следовательно, площади этих треугольников пропорциональны основаниям:
S(AEP)/S(BFP) = AE/BF = AC/BD.
Аналогично, для треугольников CHP и DGP:
S(CHP)/S(DGP) = CH/DG = AC/BD.
Сложим эти два равенства:
S(AEP)/S(BFP) + S(CHP)/S(DGP) = 2AC/BD.
Так как AC/BD = BD/AC, то
S(AEP)/S(BFP) + S(CHP)/S(DGP) = 2(BD/AC)².
Из предыдущих равенств следует, что
BD/AC = √(S(AEP)S(BFP)/S(CHP)S(DGP)).
Подставим это в предыдущее равенство:
S(AEP)/S(BFP) + S(CHP)/S(DGP) = 2S(AEP)S(BFP)/S(CHP)S(DGP).
Умножим обе части на S(CHP)S(DGP):
S(AEP)S(CHP)S(DGP)/S(BFP)S(CHP)S(DGP) + S(BFP)S(CHP)S(DGP)/S(AEP)S(CHP)S(DGP) = 2S(AEP)S(BFP).
Сократим общий множитель S(CHP)S(DGP):
S(AEP)S(DGP) + S(BFP)S(CHP) = 2S(AEP)S(BFP).
Таким образом, мы доказали, что сумма площадей двух треугольников, прилежащих к противоположным сторонам параллелограмма, составляет половину его площади:
S(AEP) + S(BFP) = S(ABCD)/2.