Уточнение деталей вопроса
На продолжении стороны AB параллелограмма ABCD за точку B отложен отрезок BM. Прямые MC и AD пересекаются в точке N. Докажите, что площадь треугольника ABC равна среднему геометрическому площадей треугольников MBC и NCD.
Ответ на вопрос
Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой площади треугольника через стороны и высоту, а также свойством параллелограмма, что противоположные стороны равны и параллельны.
Пусть сторона AB параллелограмма ABCD равна a, а сторона BC равна b. Тогда высота треугольника ABC, проведенная из вершины C, равна h = BC*sin(∠ABC).
Площадь треугольника ABC равна S_ABC = (1/2)*a*h = (1/2)*a*BC*sin(∠ABC).
Площадь треугольника MBC равна S_MBC = (1/2)*BM*BC*sin(∠MBC).
Площадь треугольника NCD равна S_NCD = (1/2)*AD*CD*sin(∠NCD).
Заметим, что треугольники MBC и NCD имеют общую высоту, проведенную из вершины C. Также, по свойству параллелограмма, сторона BM равна стороне CD, а сторона AD равна стороне BC.
Тогда, используя формулу для площади треугольника через стороны и высоту, получаем:
S_MBC/S_NCD = (BM*BC*sin(∠MBC))/(AD*CD*sin(∠NCD)) = (BM/AD)*(BC/CD)*(sin(∠MBC)/sin(∠NCD)) = (BM/AD)*(BC/CD)*(sin(∠ABC)/sin(∠ABC)) = (BM/AD)*(BC/CD)
Таким образом, площадь треугольника ABC равна среднему геометрическому площадей треугольников MBC и NCD:
S_ABC = (1/2)*a*BC*sin(∠ABC) = (1/2)*a*BC*(BM/AD)*(BC/CD) * sin(∠ABC) = (1/2)*BM*BC*sin(∠MBC) * (1/2)*AD*CD*sin(∠NCD) = S_MBC*S_NCD
Что и требовалось доказать.