Уточнение деталей вопроса
Две окружности касаются друг друга извне. Прямая, проходящая через точку касания, пересекает окружности в точках P и Q, PM и QN — отрезки касательных, проведенные из точек P и Q к окружностям. Докажите, что PM2 + QN2 = PQ2.
Ответ на вопрос
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами касательных и сходством треугольников.
Пусть радиусы окружностей равны r1 и r2, а расстояние между их центрами равно d. Тогда, по свойству касательных, PM и QN являются перпендикулярами к прямой PQ, а также касательными к окружностям в точках P и Q соответственно.
Рассмотрим треугольники POM и QON. Они являются прямоугольными, так как углы OPM и OQN прямые (из свойства касательных). Также они подобны друг другу, так как углы OMP и ONQ равны (из-за того, что PM и QN являются касательными к окружностям).
Из подобия треугольников POM и QON следует, что соответствующие стороны пропорциональны:
PM / QN = OM / ON
OM и ON равны r1 и r2 соответственно, а PM + QN = PQ (из-за того, что PM и QN являются перпендикулярами к PQ).
Таким образом, мы получаем:
PM2 + QN2 = (PM + QN)2 — 2PMQN = PQ2 — 2r1r2
Но мы знаем, что d = r1 + r2, поэтому r1r2 = (d — PQ) / 2. Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем:
PM2 + QN2 = PQ2 — 2r1r2 = PQ2 — (d — PQ) = PQ2 — d + PQ
Но d = 2r1 + 2r2, поэтому PQ2 — d + PQ = PQ2 — 2(r1 + r2) + PQ = PQ2.
Таким образом, мы доказали, что PM2 + QN2 = PQ2.