Уточнение деталей вопроса

Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты А(х1;у1), В (х2; у2), С(х3;у3) и D (x4; y4). Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда х1 + х3 = х2 + х4 и у1 + у3 = у2 + у4

Ответ на вопрос

Для начала, давайте определим, что такое параллелограмм. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также известно, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Теперь рассмотрим наш четырехугольник ABCD. Если он является параллелограммом, то его противоположные стороны AB и CD параллельны и равны по длине, а также стороны BC и AD параллельны и равны по длине. Это означает, что углы между сторонами AB и BC, а также между сторонами CD и AD равны.

Теперь давайте рассмотрим координаты вершин нашего четырехугольника. Пусть А имеет координаты (х1;у1), В — (х2; у2), С — (х3;у3) и D — (x4; y4). Тогда длины сторон AB, BC, CD и AD можно выразить следующим образом:

AB = √((х2 — х1)² + (у2 — у1)²)
BC = √((х3 — х2)² + (у3 — у2)²)
CD = √((x4 — х3)² + (y4 — у3)²)
AD = √((x4 — х1)² + (y4 — у1)²)

Теперь давайте проверим условие, что х1 + х3 = х2 + х4 и у1 + у3 = у2 + у4. Для этого сложим координаты вершин А и С, а также В и D:

А + С = (х1 + х3; у1 + у3)
В + D = (х2 + х4; у2 + у4)

Если х1 + х3 = х2 + х4 и у1 + у3 = у2 + у4, то это означает, что середина отрезка АС совпадает с серединой отрезка ВD. То есть диагонали AC и BD пересекаются в точке, которая делит их пополам. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда х1 + х3 = х2 + х4 и у1 + у3 = у2 + у4.