Уточнение деталей вопроса
В прямоугольную трапецию ABCD, градусная мера острого угла которой равна 45°, вписана окружность, радиус которой равен 2 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник CDF, где отрезок CF — высота трапеции.
Ответ на вопрос
Для решения задачи нам понадобится знание о том, что вписанная окружность в треугольник делит каждую сторону на две части, пропорциональные длинам отрезков, на которые она делит стороны. Также нам понадобится знание о том, что высота треугольника является биссектрисой угла между сторонами, на которые она опущена.
Из условия задачи мы знаем, что градусная мера острого угла трапеции ABCD равна 45°, что означает, что угол BCD также равен 45°. Так как высота CF является биссектрисой угла BCD, то угол FCD также равен 45°. Таким образом, треугольник CDF является равнобедренным, а высота CF является медианой и биссектрисой.
Из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что медиана, проведенная к основанию, равна половине основания. Таким образом, отрезок CD, являющийся основанием треугольника CDF, равен 2 см (так как это половина основания трапеции ABCD). Также мы знаем, что высота CF равна 2 см (так как это радиус вписанной окружности в трапецию ABCD).
Используя формулу для радиуса вписанной окружности в треугольник, которая выражается через площадь треугольника и полупериметр, мы можем вычислить радиус вписанной окружности в треугольник CDF. Площадь треугольника CDF равна половине произведения основания и высоты, то есть 2 см². Полупериметр треугольника CDF равен сумме длин сторон, деленной на 2, то есть (2 + 2 + CD)/2 = (4 + CD)/2. Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольник CDF равен:
r = S/p = 2/((4 + CD)/2) = 4/(4 + CD)
Подставляя значение CD, получаем:
r = 4/(4 + 2) = 4/6 = 2/3 см
Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольник CDF равен 2/3 см.