В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 1 см, AA1 = 1 см, AD = 3 см. Точки F и K лежат на ребрах B1C1 и AD так, что BXF : В1С1 = 2 : 3, АК : АВ = 1 : 3. Найдите угол между прямыми A1F и D1K.

Уточнение деталей вопроса

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 1 см, AA1 = 1 см, AD = 3 см. Точки F и K лежат на ребрах B1C1 и AD так, что BXF : В1С1 = 2 : 3, АК : АВ = 1 : 3. Найдите угол между прямыми A1F и D1K.

Ответ на вопрос

Построим параллелограмм B1BXС1F. Так как BXF : В1С1 = 2 : 3, то BF = 2/5 B1C1 и XF = 3/5 B1C1. Также заметим, что треугольник A1BX подобен треугольнику A1DA, так как углы A1BX и A1DA прямые, а углы A1AB и A1DD равны (так как AD = 3 см, а AA1 = 1 см). Значит, AB : A1B = AD : A1X, откуда AB = 3/2 A1B. Также заметим, что треугольник A1BF подобен треугольнику A1DC, так как углы A1BF и A1DC прямые, а углы A1AB и A1DD равны. Значит, AB : A1B = AD : A1F, откуда AB = 3/4 A1F. Следовательно, 3/2 A1B = 3/4 A1F, откуда A1F = 2/3 A1B.

Теперь построим параллелограмм A1AKD. Так как АК : АВ = 1 : 3, то АК = 1/4 AD. Также заметим, что треугольник A1AK подобен треугольнику A1DA, так как углы A1AK и A1DA прямые, а углы A1AB и A1DD равны. Значит, AB : A1B = AD : A1K, откуда AB = 3/4 A1K. Следовательно, 3/4 A1K + 1 = 3, откуда A1K = 8/3.

Теперь найдем векторы A1F и D1K. Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма A1AKD. Тогда вектор A1F = 2/3 A1B – 1/3 AB = 2/3 A1B – 1/2 A1B = 1/6 A1B, а вектор D1K = 1/4 AD – 1/4 AB = 3/4 AD – 3/4 A1B = 9/4 A1D.

Так как A1O делит диагональ AD пополам, то вектор A1O = 1/2 AD. Также заметим, что треугольник A1OD1 подобен треугольнику A1AB1, так как углы A1OD1 и A1AB1 прямые, а углы A1AB и A1DD равны. Значит, A1D1 : A1B1 = AD : AB, откуда A1D1 = 3/2 A1B1. Также заметим, что треугольник A1B1C1 подобен треугольнику A1AB1, так как углы A1B1C1 и A1AB1 прямые, а углы A1AB и A1DD равны. Значит, A1B1 : AB = A1C1 : A1B1, откуда A1C1 = AB^2 / A1B1 = 1/2.

Теперь найдем вектор A1D1: A1D1 = A1O + OD1 = 1/2 AD + 3/2 A1B1 = 1/2 AD + 9/4 A1B = 1/2 (AD + 9/2 A1B). Значит, вектор A1D1 = 1/2 (AD + 9/2 A1B) = 1/2 (3, 0, 0) + 9/2 (0, 1, 0) = (9/2, 9/2, 0).

Теперь найдем скалярное произведение векторов A1F и D1K: A1F · D1K = (1/6, 0, 0) · (9/2, 9/2, 0) = 3/4. Также заметим, что |A1F| = 1/6 |A1B| = 1/6 √(1^2 + 3^2 + 1^2) = √11/6, а |D1K| = 9/4 |A1D| = 9/4 √(3^2 + 1^2 + 3^2) = 9/2 √7/2. Так как A1F и D1K лежат в плоскости A1D1K, то угол между ними равен arccos (A1F · D1K) / (|A1F| |D1K|) = arccos (3/4 / (√11/6 · 9/2 √7/2)) = arccos (2/3 √77) ≈ 28.5°. Ответ: 28.5°.