Уточнение деталей вопроса
В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью,
Ответ на вопрос
к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.
Для начала, рассмотрим правильный многоугольник с n сторонами, вписанный в окружность радиуса r. Для удобства, обозначим его площадь через S, а периметр через P.
Так как многоугольник правильный, то все его стороны и углы равны между собой. Разделим многоугольник на n равных треугольников, проведя из центра окружности радиусы к вершинам многоугольника. Таким образом, каждый треугольник будет равнобедренным, а его основание будет равно стороне многоугольника.
Рассмотрим один из таких треугольников. Он разделен на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катет r, а гипотенуза равна стороне многоугольника. Таким образом, мы можем выразить длину стороны многоугольника через радиус окружности:
a = 2r * sin(π/n)
Теперь мы можем выразить периметр многоугольника через радиус окружности:
P = n * a = 2nr * sin(π/n)
А площадь многоугольника:
S = (1/2) * n * a * r = nr^2 * sin(π/n) * cos(π/n)
Теперь рассмотрим круг, ограниченный этой окружностью. Его площадь можно выразить через радиус окружности:
S’ = πr^2
Отношение площадей круга и многоугольника:
S’/S = πr^2 / (nr^2 * sin(π/n) * cos(π/n)) = π / (n * sin(π/n) * cos(π/n))
Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
cos(2x) = cos^2(x) — sin^2(x)
Применим их к нашему выражению:
S’/S = π / (n * sin(π/n) * cos(π/n)) = π / (n * sin(2π/2n)) = π / (n * 2sin(π/n)cos(π/n)) = (π / n) * (1 / 2sin(π/n)) = (π / n) * (r / a) = (π / P) * (r * 2π)
Таким образом, мы получили, что отношение площади круга, ограниченного вписанной окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника:
S’/S = (πr^2) / (nr^2 * sin(π/n) * cos(π/n)) = (π / P) * (r * 2π) = (πr^2) / (Pa)