Уточнение деталей вопроса
В остроугольном треугольнике АВС длины сторон АВ и ВС равны соответственно 10 см и 18 см. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника АВС
Ответ на вопрос
Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, можно вычислить по формуле:
R = (abc) / (4S),
где a, b и c — длины сторон треугольника, а S — его площадь.
Для начала найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона:
p = (a + b + c) / 2 = (10 + 18 + AC) / 2 = (28 + AC) / 2 = 14 + AC/2
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt(14(4)(6)(8-AC)) = 4sqrt(24(8-AC)) = 8sqrt(6(8-AC))
Здесь мы использовали тот факт, что треугольник остроугольный, а значит, его высота на гипотенузу лежит внутри треугольника.
Теперь найдем длину третьей стороны треугольника АВС:
AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB*BC*cos(∠ABC) = 10^2 + 18^2 — 2*10*18*cos(∠ABC) = 100 + 324 — 360*cos(∠ABC) = 424 — 360*cos(∠ABC)
Здесь мы использовали теорему косинусов.
Так как треугольник остроугольный, то ∠ABC является острым углом, а значит, cos(∠ABC) > 0. Поэтому AC < sqrt(424) = 2sqrt(106). Теперь можем вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС: R = (abc) / (4S) = (10*18*AC) / (4*8sqrt(6(8-AC))) = (5*9*AC) / (4sqrt(6(8-AC))) = (45AC) / (4sqrt(6(8-AC))) Заметим, что AC является функцией только от ∠ABC, а значит, достигает максимума при ∠ABC = 90°. В этом случае AC = sqrt(10^2 + 18^2) = 2sqrt(106), и радиус окружности будет: R = (45*2sqrt(106)) / (4sqrt(6(8-2sqrt(106)))) = 45sqrt(106) / (4sqrt(48-12sqrt(106))) = 45sqrt(106)(sqrt(48+12sqrt(106))) / (4(48-12sqrt(106))) = 15sqrt(6+sqrt(106)) Ответ: радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 15sqrt(6+sqrt(106)) см.