Уточнение деталей вопроса
В окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда АВ = 8 . Точка С лежит на хорде АВ так, что АС : ВС = 1 : 2. Найдите радиус окружности,
Ответ на вопрос
проведенной через точки А, В и С.
Для решения задачи воспользуемся свойством хорд, проведенных в окружности: если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение отрезков каждой хорды равно. То есть, если АВ и CD — две хорды, пересекающиеся в точке Е, то АЕ·ЕВ = СЕ·ЕD.
В нашем случае, пусть точка О — центр окружности, а точка М — середина хорды АВ. Тогда, по теореме Пифагора, ОМ = √(r² — (AB/2)²), где r — радиус окружности.
Также, из условия задачи, АС : ВС = 1 : 2. Пусть АС = x, тогда ВС = 2x. Тогда, по теореме Пифагора для треугольника АСО и ВСО, получаем:
x² + ОМ² = r²
(2x)² + ОМ² = r²
Вычтем первое уравнение из второго:
(2x)² — x² = 3x² = 0
Отсюда x = 0, что не имеет смысла. Значит, мы получили, что ОМ² = r² — (AB/2)² = x². Подставляем значение x из АС = x и получаем:
r² — (AB/2)² = (AC/3)²
r² — 4² = (8/3)²
r² = 16 + (64/9)
r² = (256/9)
r = √(256/9) = 16/3
Ответ: радиус окружности, проведенной через точки А, В и С, равен 16/3.