Уточнение деталей вопроса
В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Р, прямые ВС и AD пересекаются в точке О.
а) Докажите, что биссектрисы углов Р и О взаимно перпендикулярны,
б) Проверьте обратное утверждение.
Ответ на вопрос
а) Для доказательства взаимной перпендикулярности биссектрис углов Р и О в четырехугольнике ABCD воспользуемся теоремой о пересечении биссектрис в треугольнике. Пусть биссектрисы углов Р и О пересекаются в точке М. Тогда, по определению биссектрисы, углы AMP и BMP равны, а углы CMO и DMO равны. Также углы AMP и CMO, а также углы BMP и DMO являются смежными и, следовательно, дополнительными. Из этого следует, что углы AMP и DMO, а также углы BMP и CMO являются равными и, следовательно, противоположными. Таким образом, биссектрисы углов Р и О взаимно перпендикулярны.
б) Обратное утверждение не всегда верно. Рассмотрим пример, когда биссектрисы углов Р и О взаимно перпендикулярны, но четырехугольник ABCD не является вписанным. Пусть точки А, В, С и D лежат на окружности с центром в точке О и радиусом 1. Тогда прямые АВ и CD пересекаются в точке Р, а прямые ВС и AD пересекаются в точке О. Очевидно, что биссектрисы углов Р и О взаимно перпендикулярны, но четырехугольник ABCD не является вписанным, так как углы ABC и ADC не являются смежными. Таким образом, взаимная перпендикулярность биссектрис углов Р и О не является достаточным условием для того, чтобы четырехугольник был вписанным.