Уточнение деталей вопроса
В квадрате ABCD точки К, Р, Е и Т — середины сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно. Докажите, что четырёхугольник, ограниченный прямыми ВТ, PD, СК и АЕ, является квадратом. Найдите его площадь, если площадь квадрата ABCD равна S.
Ответ на вопрос
Для доказательства того, что четырёхугольник, ограниченный прямыми ВТ, PD, СК и АЕ, является квадратом, необходимо показать, что его стороны равны между собой и что углы между ними прямые.
Рассмотрим стороны четырёхугольника. Сторона ВТ является диагональю квадрата ABCD и, следовательно, равна стороне АС. Сторона PD является диагональю квадрата PBCD и, следовательно, равна стороне АВ. Сторона СК является диагональю квадрата ABCS и, следовательно, равна стороне ВС. Сторона АЕ является диагональю квадрата AEDC и, следовательно, равна стороне CD.
Таким образом, все стороны четырёхугольника равны между собой.
Рассмотрим углы между сторонами. Угол между сторонами ВТ и PD равен углу между диагоналями квадратов ABCD и PBCD, то есть 90 градусов. Аналогично, угол между сторонами PD и СК равен углу между диагоналями квадратов PBCD и ABCS, то есть 90 градусов. Угол между сторонами СК и АЕ равен углу между диагоналями квадратов ABCS и AEDC, то есть 90 градусов. Наконец, угол между сторонами АЕ и ВТ равен углу между диагоналями квадратов AEDC и ABCD, то есть 90 градусов.
Таким образом, все углы четырёхугольника прямые.
Из равенства сторон и прямых углов следует, что четырёхугольник, ограниченный прямыми ВТ, PD, СК и АЕ, является квадратом.
Найдём площадь этого квадрата. Площадь квадрата ABCD равна S, значит, его сторона равна √S. Сторона квадрата, ограниченного прямыми ВТ, PD, СК и АЕ, равна стороне квадрата ABCD, то есть √S. Площадь этого квадрата равна (√S)² = S.
Таким образом, площадь четырёхугольника, ограниченного прямыми ВТ, PD, СК и АЕ, равна S.