Уточнение деталей вопроса
Трапеция ABCD разделена прямой, параллельной её основаниям AD и ВС, на две равновеликие трапеции. Найдите отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, если основания трапеции равны а и b.
Ответ на вопрос
параллельной основаниям трапеции ABCD, если длина оснований AD и ВС равна 10 см и 16 см соответственно.
Пусть точка пересечения прямой и стороны AB трапеции ABCD называется E, а точка пересечения прямой и стороны CD — F. Так как прямая делит трапецию на две равновеликие части, то точки E и F делят соответствующие стороны трапеции на равные отрезки. Обозначим отрезок EF через х. Тогда, так как прямая параллельна основаниям трапеции, то треугольники ABE и CDF подобны, а значит, отношение соответствующих сторон равно отношению соответствующих оснований трапеции. То есть:
AB/CD = AE/CF = BE/DF = 10/16
Так как AE = BE + х, а CF = DF — х, то:
10/16 = (BE + х)/(DF — х)
160 = 10DF — 10х + 16BE + 16х
160 = 10DF + 16BE + 6х
160 = 2(5DF + 8BE + 3х)
80 = 5DF + 8BE + 3х
Заметим, что BE + DF = BC = 16, а значит, 5DF + 8BE = 5(16 — BE) + 8BE = 80 + 3BE. Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:
80 = 80 + 3BE + 3х
3BE + 3х = 0
BE + х = 0
BE = -х
Так как отрезок EF является положительной величиной, то BE не может быть равен -х. Значит, решений уравнения нет. Следовательно, прямая не может делить трапецию на две равновеликие части.