Точка F лежит на основании АС равнобедренного треугольника ABC так, что AF_FC= 1 : 3. В треугольники ABF и FBC вписаны окружности. Найдите рассеяние

Уточнение деталей вопроса

Точка F лежит на основании АС равнобедренного треугольника ABC так, что AF_FC= 1 : 3. В треугольники ABF и FBC вписаны окружности. Найдите рассеяние между точками касания этих окружностей со стороной BF, если АС = а.

Ответ на вопрос

Для начала, заметим, что так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC равен углу BCA. Также, так как точка F лежит на основании АС, то угол AFC равен 180 градусов минус угол BAC. Из этих двух фактов следует, что угол BFC равен углу BAC.

Теперь рассмотрим треугольник ABF. Так как в нем вписана окружность, то угол BAF равен половине угла B. Аналогично, в треугольнике FBC угол CBF равен половине угла B. Так как угол BFC равен углу BAC, то угол BAF и угол CBF равны между собой.

Таким образом, треугольники ABF и FBC подобны друг другу по двум углам, и соотношение сторон AB и BF равно 2:1 (так как точка F делит сторону AC в отношении 1:3). Из этого следует, что соотношение сторон FC и BF также равно 2:1.

Пусть точки касания вписанных окружностей со стороной BF имеют координаты (x, y) и (z, y). Тогда расстояние между этими точками равно |z — x|. Но так как соотношение сторон FC и BF равно 2:1, то точка касания вписанной окружности в треугольнике FBC находится на расстоянии 2/3 от точки B до точки F. Аналогично, точка касания вписанной окружности в треугольнике ABF находится на расстоянии 2/3 от точки A до точки F. Так как АС = а, то точка C находится на расстоянии а/2 от точки A. Таким образом, координаты точек касания равны (a/3, y) и (2a/3, y), и расстояние между ними равно a/3.

Итак, мы получили, что расстояние между точками касания вписанных окружностей со стороной BF равно a/3.