Уточнение деталей вопроса
Точка движется по окружности радиусом 2м согласно уравнению е, = At3 (А = 2м/с3). В какой момент времени t нормальное ускорение будет равно тангенциальному ускорению? Какова будет величина полного ускорения в этот момент времени?
Ответ на вопрос
Нормальное ускорение и тангенциальное ускорение точки, движущейся по окружности, связаны с радиусом окружности и скоростью точки. Нормальное ускорение направлено к центру окружности, а тангенциальное ускорение направлено по касательной к окружности. В момент, когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному ускорению, точка будет двигаться по окружности без изменения скорости и направления движения.
Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом 2м согласно уравнению е, = At3 (А = 2м/с3), можно выразить через радиус и скорость точки: ан = v2/r. Тангенциальное ускорение точки можно выразить через производную скорости по времени: ат = dv/dt.
Приравняв нормальное и тангенциальное ускорения, получим уравнение: v2/r = dv/dt. Решив это уравнение, найдем момент времени t, когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному ускорению.
dv/dt = v2/r
dv/v2 = dt/r
∫dv/v2 = ∫dt/r
-1/v = t/r + С
v = -r/(t + С)
Из начальных условий задачи следует, что при t = 0 скорость точки равна нулю. Поэтому С = r/v0, где v0 — начальная скорость точки.
v = -r/(t + r/v0)
Подставляя значение А = 2м/с3 и радиуса r = 2м, получим:
v = -2/(t + 2/v0)3
Найдем значение скорости в момент времени, когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному ускорению:
v2/r = dv/dt
v2 = r dv/dt
v2 = 2 dv/dt
2/(t + 2/v0)6 = 4/(t + 2/v0)4
(t + 2/v0)2 = 2
t = √2 — 2/v0
При этом моменте времени полное ускорение точки будет равно:
а = √(ан2 + ат2) = √(v2/r2 + (dv/dt)2) = √(4/(t + 2/v0)6 + 36/(t + 2/v0)8)
а = 2√(1/(t + 2/v0)6 + 9/(t + 2/v0)8)
Таким образом, в момент времени t = √2 — 2/v0 нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному ускорению, а полное ускорение будет равно 2√(1/(t + 2/v0)6 + 9/(t + 2/v0)8).