Уточнение деталей вопроса
Точка А лежит вне плоскости α, Х — произвольная точка плоскости α, Х1 точка отрезка АХ, делящая его в отношении m : n. Докажите, что геометрическое место точек Х1 есть плоскость, по параллельная плоскости α
Ответ на вопрос
Пусть вектор нормали к плоскости α равен n. Тогда уравнение плоскости α можно записать в виде:
n · (X — A) = 0,
где A — произвольная точка, лежащая вне плоскости α.
Пусть Х1 делит отрезок АХ в отношении m:n, тогда координаты точки Х1 можно выразить следующим образом:
X1 = (n·X·m + n·A·n) / (m+n).
Заметим, что вектор n·A·n является проекцией вектора АХ на направление n. Так как точка А лежит вне плоскости α, то вектор АХ не параллелен вектору n, а значит, его проекция на направление n не равна нулю. Таким образом, вектор n·A·n не равен нулю.
Теперь рассмотрим произвольную точку Х2, лежащую на геометрическом месте точек Х1. Пусть Х2 делит отрезок АХ в отношении p:q. Тогда координаты точки Х2 можно выразить аналогичным образом:
X2 = (n·X·p + n·A·n) / (p+q).
Сравнивая выражения для X1 и X2, получаем:
n·X1·(p+q) = n·X2·(m+n),
откуда следует:
n·X1 = n·X2.
Таким образом, все точки геометрического места лежат в плоскости, перпендикулярной вектору n. Эта плоскость параллельна плоскости α, так как вектор n является нормалью к обеим плоскостям.