Уточнение деталей вопроса
Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r— радиус вписанной окружности
Ответ на вопрос
Для доказательства данного утверждения рассмотрим правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса r. Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри этого многоугольника.
Рассмотрим перпендикуляр, проведенный из точки М к одной из сторон n-угольника. Обозначим его длину через h1. Так как n-угольник правильный, то все его стороны равны между собой, а значит, все перпендикуляры, проведенные из точки М к сторонам, будут равны между собой. Обозначим эту длину через h.
Таким образом, сумма перпендикуляров, проведенных из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nh.
Для доказательства того, что h=r, рассмотрим треугольник, образованный центром окружности, точкой М и одной из вершин n-угольника. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны равны радиусу окружности, а третья сторона — перпендикуляр, проведенный из точки М к стороне n-угольника. Значит, высота этого треугольника, проходящая через точку М, равна r.
Таким образом, мы доказали, что сумма перпендикуляров, проведенных из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nh, где h=r. Значит, сумма этих перпендикуляров равна nr.