Уточнение деталей вопроса
Прямая MN — общая внутренняя касательная двух окружностей, радиусы которых равны 3 см и 5 см, M и N — точки касания (рис. 347). Расстояние
Ответ на вопрос
между центрами окружностей?
Для начала, рассмотрим схему, изображенную на рисунке 347:

Здесь две окружности с радиусами 3 см и 5 см, центры которых обозначены буквами O1 и O2 соответственно. Точки касания окружностей с прямой MN обозначены буквами M и N.
Прямая MN называется общей внутренней касательной, потому что она касается обеих окружностей внутренним образом. Это означает, что прямая MN проходит через точки M и N, которые являются точками касания окружностей.
Чтобы найти расстояние между центрами окружностей, нам нужно использовать свойство общей внутренней касательной. Это свойство гласит, что расстояние между центрами окружностей равно разности длин отрезков, соединяющих центры окружностей с точками касания на прямой MN.
Таким образом, нам нужно найти длины отрезков OM и ON, которые соединяют центры окружностей с точками касания M и N на прямой MN.
Для начала, найдем длину отрезка OM. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника O1OM:
OM^2 = O1M^2 — O1O2^2
Здесь O1M — радиус первой окружности, равный 3 см, O1O2 — расстояние между центрами окружностей, которое мы хотим найти, и OM — длина отрезка, который мы ищем.
Подставляя известные значения, получаем:
OM^2 = 3^2 — O1O2^2
OM^2 + O1O2^2 = 9
Аналогично, для отрезка ON мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника O2ON:
ON^2 = O2N^2 — O1O2^2
Здесь O2N — радиус второй окружности, равный 5 см, O1O2 — расстояние между центрами окружностей, которое мы хотим найти, и ON — длина отрезка, который мы ищем.
Подставляя известные значения, получаем:
ON^2 = 5^2 — O1O2^2
ON^2 + O1O2^2 = 25
Теперь мы можем объединить эти два уравнения и решить систему уравнений относительно неизвестной O1O2:
OM^2 + O1O2^2 = 9
ON^2 + O1O2^2 = 25
Вычитая первое уравнение из второго, получаем:
ON^2 — OM^2 = 16
(ON + OM)(ON — OM) = 16
Заметим, что ON + OM — это расстояние между точками M и N на прямой MN, которое мы можем найти как разность радиусов окружностей:
ON + OM = 5 + 3 = 8
Тогда:
(ON — OM) = 16 / (ON + OM) = 2
Теперь мы можем найти расстояние между центрами окружностей, используя одно из уравнений:
OM^2 + O1O2^2 = 9
O1O2^2 = 9 — OM^2 = 9 — 2^2 = 5
O1O2 = sqrt(5) см
Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно sqrt(5) см.