Уточнение деталей вопроса
Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена
Ответ на вопрос
от точек А и В; б) отрезок АВ является диаметром окружности, описанной около треугольника АВС, где С — произвольная точка на прямой а.
а) Пусть М — середина отрезка АВ, а N — произвольная точка на прямой а. Так как прямая а перпендикулярна к отрезку АВ, то она проходит через середину этого отрезка, а значит, отрезок МN является высотой треугольника АВ. Так как высота перпендикулярна к основанию, то угол МНА прямой. Также угол МВА прямой, так как М — середина отрезка АВ. Значит, треугольники МНА и МВА являются прямоугольными и имеют равные катеты МН и МВ. Следовательно, точка N равноудалена от точек А и В.
б) Пусть С — произвольная точка на прямой а. Так как точка М является серединой отрезка АВ, то МС является медианой треугольника АВ. Также, так как прямая а перпендикулярна к отрезку АВ, то угол МСА прямой. Значит, треугольник АМС является прямоугольным и имеет гипотенузу АС, которая является диаметром окружности, описанной около треугольника АВС. Следовательно, отрезок АВ является диаметром этой окружности.