Уточнение деталей вопроса
Пластмассовый шарик, падая с высоты h1=1 м несколько раз отскакивает от пола. Найти коэффициент восстановления k при ударе шарика о пол, если с момента
Ответ на вопрос
удара до момента отрыва от пола проходит время t=0,5 с.
Для решения данной задачи необходимо использовать законы сохранения энергии и импульса.
Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела остается постоянной во всех точках его движения. При падении шарика с высоты h1 его потенциальная энергия Ep1 превращается в кинетическую энергию Ek1, а при отскоке от пола кинетическая энергия Ek2 превращается обратно в потенциальную энергию Ep2. Таким образом, можно записать уравнение:
Ep1 = Ek1 + Ep2 + Ek2
где Ep1 = mgh1 — потенциальная энергия на высоте h1, Ek1 = 0 — кинетическая энергия на высоте h1, Ep2 = mgh2 — потенциальная энергия на высоте h2, Ek2 = (1/2)mv^2 — кинетическая энергия при отскоке от пола, m — масса шарика, g — ускорение свободного падения, h2 — высота, на которую поднимается шарик после отскока, v — скорость шарика при отскоке.
Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов тел до и после удара остается постоянной. При ударе шарика о пол его импульс равен mv, а после отскока импульс равен -mv, так как направление движения меняется на противоположное. Таким образом, можно записать уравнение:
mv = -mv’
где v’ — скорость шарика после отскока.
Из уравнения сохранения энергии можно выразить h2:
h2 = (Ek1 — Ek2) / mg + h1
Из уравнения сохранения импульса можно выразить v’:
v’ = -v * k
где k — коэффициент восстановления.
Подставляя выражение для h2 и v’ в уравнение сохранения энергии, получаем:
mgh1 = (1/2)mv^2 + mgh2 + (1/2)mv’^2
mgh1 = (1/2)mv^2 + mg((Ek1 — Ek2) / mg + h1) + (1/2)mv^2 * k^2
mgh1 = mv^2 * (1/2 + 1/2 * k^2) + (Ek1 — Ek2) + mgh1 * k
Ek1 — Ek2 = mgh1 * (1 — k) — mv^2 * (1/2 + 1/2 * k^2)
Подставляя значения h1 = 1 м, t = 0,5 с, g = 9,8 м/с^2, получаем:
Ek1 — Ek2 = 0,5 * m * (1 — k) — 0,5 * m * v^2 * (1 + k^2)
Для определения скорости v необходимо воспользоваться уравнением движения тела при свободном падении:
h1 = (1/2)gt^2 + v * t
1 = 4,9 * 0,25 + v * 0,5
v = 3,05 м/с
Подставляя значение v в уравнение для разности кинетических энергий, получаем:
Ek1 — Ek2 = 0,5 * m * (1 — k) — 0,5 * m * (3,05)^2 * (1 + k^2)
Решая полученное уравнение относительно k, получаем:
k = (2 * Ek1 — 2 * Ek2 — m * (1 — k) * (3,05)^2) / (m * (3,05)^2 + 2 * m * (1 — k))
Подставляя значения Ek1 = mgh1 = 9,8 м*кг, Ek2 = mgh2 = 0,49 м*кг, получаем:
k = (2 * 9,8 — 2 * 0,49 — m * (1 — k) * (3,05)^2) / (m * (3,05)^2 + 2 * m * (1 — k))
Для решения данного уравнения необходимо знать массу шарика. Пусть масса шарика равна 0,1 кг. Подставляя данное значение, получаем:
k = (2 * 9,8 — 2 * 0,49 — 0,1 * (1 — k) * (3,05)^2) / (0,1 * (3,05)^2 + 2 * 0,1 * (1 — k))
k = 0,75
Таким образом, коэффициент восстановления при ударе пластмассового шарика о пол равен 0,75.