Уточнение деталей вопроса
Перпендикуляр, опущенный из середины основания равнобедренного треугольника на его боковую сторону, делит ее на отрезки длиной 2V2 см и 9V2 см. Найдите
Ответ на вопрос
длину основания треугольника.
Рисуем равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть M — середина основания BC, и из точки M опущен перпендикуляр MD на боковую сторону AB.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то AM — медиана, а значит, MD = BM = MC. Обозначим длину отрезка MD через x.
Тогда, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMD:
AM^2 = AD^2 — MD^2
AM^2 = AD^2 — x^2
Аналогично, в прямоугольном треугольнике BMD:
BM^2 = BD^2 — MD^2
BM^2 = BD^2 — x^2
Так как BM = MC, то BD = BC — CD = BC — AB/2. Подставляем это выражение во второе уравнение:
BM^2 = (BC — AB/2)^2 — x^2
Сложим два уравнения:
AM^2 + BM^2 = AD^2 + (BC — AB/2)^2 — 2x^2
Так как AM = BM, то:
2AM^2 = AD^2 + (BC — AB/2)^2 — 2x^2
Заметим, что AD = AB/2 + 2V2 и BC = 2AB/2 = AB. Подставляем это в уравнение:
2AM^2 = (AB/2 + 2V2)^2 + (AB — AB/2)^2 — 2x^2
2AM^2 = AB^2/4 + 2ABV2 + 8 + AB^2/4 — AB^2/4 — 2AB^2/4 + AB^2/4 — 2x^2
2AM^2 = AB^2/2 + 8 — 2x^2
Так как AM = BM = MC, то AM = AB/2 — x. Подставляем это в уравнение:
2(AB/2 — x)^2 = AB^2/2 + 8 — 2x^2
AB^2/2 — 2ABx + 2x^2 = AB^2/2 + 8 — 2x^2
4x^2 — 2ABx + 8 = 0
x^2 — ABx/2 + 4 = 0
Решаем квадратное уравнение относительно x:
x = (AB/4) ± V(AB^2/16 — 16)
x = (AB/4) ± V(AB^2/16 — 64/4)
x = (AB/4) ± V(AB^2/16 — 16^2/16)
x = (AB/4) ± V(AB^2 — 16^2)/16
x = (AB/4) ± V(AB + 16)(AB — 16)/16
Так как x > 0, то выбираем знак «+»:
x = (AB/4) + V(AB + 16)(AB — 16)/16
Теперь заметим, что отрезок, на который делится боковая сторона треугольника, равен 2V2 + 9V2 = 11V2. Так как MD = x, то BD = 9V2 — x и AD = 2V2 + x. Сложим эти два выражения:
AD + BD = 11V2
2V2 + x + 9V2 — x = 11V2
AB = 8V2
Ответ: длина основания равнобедренного треугольника равна 8V2 см.