Окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке K, проходит через его вершину B и пересекает стороны AB и BC

Уточнение деталей вопроса

Окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке K, проходит через его вершину B и пересекает стороны AB и BC соответственно в точках M и N, ∠CKN = 40°, ∠ AKM = 60°, ∠ A = 50°.
 Найдите ∠C.

Ответ на вопрос

в точках M и N соответственно. Докажите, что отрезки AM и CN равны.

Для доказательства равенства отрезков AM и CN воспользуемся свойствами касательных окружностей. Известно, что отрезки KM и KB являются касательными к окружности в точке B. Аналогично, отрезки KN и KB также являются касательными к окружности в точке B. Из этого следует, что углы KMB и KNB равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых. Также известно, что угол BAC равен углу BKC, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности. Из этих равенств следует, что треугольники AMK и CNK подобны. Следовательно, отношение AM к KN равно отношению KM к CN. Но так как KM и KN равны (они являются касательными к окружности в точке B), то и AM и CN равны. Таким образом, мы доказали, что отрезки AM и CN равны.