Около вершин куба записаны числа от 1 до 8. На каждом ребре записывается модуль разности чисел, записанных на его концах. Может ли сумма чисел, записанных на ребрах, быть равной: а) 48;          б) 49?

Уточнение деталей вопроса

Около вершин куба записаны числа от 1 до 8. На каждом ребре записывается модуль разности чисел, записанных на его концах. Может ли сумма чисел, записанных на ребрах, быть равной:
а) 48;          б) 49?

Ответ на вопрос

а) Рассмотрим сумму чисел, записанных на ребрах куба. Каждое число, записанное на вершине, участвует в двух ребрах. Значит, каждое число будет учтено дважды в сумме. Таким образом, сумма чисел на ребрах равна $2(1+2+3+4+5+6+7+8)=90$. Очевидно, что 48 не может быть получено в виде суммы модулей разностей чисел от 1 до 8, так как 48 меньше 90.

б) Рассмотрим сумму чисел, записанных на ребрах куба. Как и в предыдущем случае, каждое число будет учтено дважды в сумме. Таким образом, сумма чисел на ребрах равна $2(1+2+3+4+5+6+7+8)=90$. Чтобы получить сумму 49, необходимо изменить одно из чисел на ребре. Однако, модуль разности двух чисел не может быть больше, чем максимальное из этих чисел. Значит, максимальная возможная разность на ребре равна $|8-1|=7$. Таким образом, сумма чисел на ребрах не может быть равна 49.