Уточнение деталей вопроса

Образующая конуса равна 1.
При каком угле ср при вершине его осевого сечения объём конуса будет наибольшим?
В каких границах лежит его объём, если высота конуса находится в промежутке:
а) (0; 0,5];
б) [0,5; 1)?

Ответ на вопрос

Для нахождения угла ср, при котором объем конуса будет наибольшим, необходимо использовать формулу объема конуса: V = (1/3)πr^2h, где r — радиус основания, h — высота конуса. Так как образующая конуса равна 1, то можно использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса основания: r^2 = 1^2 — h^2. Подставляя это выражение в формулу объема, получаем V = (1/3)π(1-h^2)h. Для нахождения максимального значения объема необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю: dV/dh = (1/3)π(1-2h^2) = 0. Отсюда получаем, что h = 1/√2. Подставляя это значение в формулу объема, получаем V = (1/6)π.

Ответ: при угле ср, равном arctan(1/√2), объем конуса будет наибольшим и равен (1/6)π.

Для нахождения границ объема конуса в зависимости от высоты необходимо использовать формулу объема и подставлять значения высоты в промежутки.

а) При высоте в промежутке (0; 0,5] радиус основания будет меньше 1, что значит, что объем конуса будет меньше, чем при максимальном радиусе. Минимальный объем конуса будет при высоте h = 0,5, когда r = 0,5√3, и равен V = (1/18)π. Максимальный объем конуса будет при высоте h = 0, когда r = 1, и равен V = (1/3)π.

б) При высоте в промежутке [0,5; 1) радиус основания будет больше 1, что значит, что объем конуса будет больше, чем при максимальном радиусе. Минимальный объем конуса будет при высоте h = 0,5, когда r = 0,5√3, и равен V = (1/18)π. Максимальный объем конуса будет при высоте h = 1, когда r = 0, и равен V = 0.