Уточнение деталей вопроса
На продолжении основания AC равнобедренного треугольника ABC за точку C отмечена точка M. Для каких из треугольников ABC, ABM и CBM основание высоты, проведенной из вершины B, лежит на продолжении стороны?
Ответ на вопрос
Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, то есть основание высоты, проведенной из вершины B, лежит на стороне AC. Также пусть BM пересекает высоту BH в точке K.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = BC. Также у равнобедренного треугольника высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Значит, BH является медианой и биссектрисой треугольника ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BH также является высотой и биссектрисой.
Таким образом, точка K является серединой стороны AC и точкой пересечения биссектрисы и медианы треугольника ABC. Значит, треугольник ABK также является равнобедренным, и BK = AK.
Рассмотрим треугольник ABM. Так как BM является медианой, то BM = AM. Также мы уже выяснили, что BK = AK. Значит, треугольник ABK равнобедренный, и угол ABK равен углу BAK. Так как угол ABK является внешним углом треугольника ABM, то он больше угла BMA. Значит, высота, проведенная из вершины B, не может лежать на продолжении стороны AM.
Рассмотрим треугольник CBM. Так как BM является медианой, то BM = CM. Также мы уже выяснили, что BK = CK. Значит, треугольник CBK равнобедренный, и угол CBK равен углу CBM. Так как угол CBK является внешним углом треугольника CBM, то он больше угла CMB. Значит, высота, проведенная из вершины B, может лежать на продолжении стороны CM.
Итак, ответ: основание высоты, проведенной из вершины B, лежит на продолжении стороны только у треугольника CBM.