Уточнение деталей вопроса
На плоскости проведены две прямые, пересекающиеся в точке О, М — точка на окружности с центром в О. Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из М на данные прямые, постоянно для всех точек окружности.
Ответ на вопрос
Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольную точку М на окружности с центром в О и проведем из нее перпендикуляры к данным прямым. Обозначим точки пересечения перпендикуляров с прямыми через А и В соответственно. Так как ОМ — радиус окружности, то ОМ ⊥ АМ и ОМ ⊥ ВМ. Также, так как А и В лежат на прямых, то АО ⊥ АМ и ВО ⊥ ВМ. Из этих равенств следует, что треугольники ОМА и ОМВ подобны, так как углы при вершине О равны, а углы при М равны, так как они прямые. Следовательно, соотношение сторон треугольников равно соотношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников. Так как радиусы этих окружностей равны, то и отрезки АО и ВО равны. Следовательно, расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из М на данные прямые, постоянно для всех точек окружности.