Уточнение деталей вопроса
Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Верно ли, что оставшиеся части также подобны?
Ответ на вопрос
Да, верно. Пусть у нас есть два подобных треугольника ABC и A’B’C’, которые были разрезаны на два треугольника каждый. Предположим, что одна из получившихся частей треугольника ABC, скажем, треугольник ADE, подобна одной из частей треугольника A’B’C’, скажем, треугольнику A’FG. Тогда, по определению подобия, углы ADE и A’FG равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
Рассмотрим оставшуюся часть треугольника ABC, то есть треугольник BCD. Поскольку треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’, то углы B и B’ равны, а соответствующие стороны также пропорциональны. Таким образом, мы можем записать:
BD/CD = B’D/C’D (по определению подобия треугольников ABC и A’B’C’)
AD/DE = A’D/DF (по определению подобия треугольников ADE и A’FG)
Мы хотим показать, что треугольник BCD подобен треугольнику C’DF. Для этого нам нужно показать, что соответствующие стороны пропорциональны. Рассмотрим отношение сторон BD и DF:
BD/DF = BD/DE * DE/DF = (BD/CD) * (AD/DE) * (C’D/A’D) * (DF/C’D)
Мы использовали здесь теорему о трёх пропорциональных отрезках для выражения отношения AD/DE через C’D/A’D. Теперь мы можем подставить значения, которые мы знаем:
BD/DF = (B’D/C’D) * (A’D/DF) * (C’D/A’D) * (DF/C’D) = B’D/C’D
Мы получили, что BD/DF равно B’D/C’D, что и означает, что треугольник BCD подобен треугольнику C’DF. Таким образом, мы доказали, что если одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника, то оставшиеся части также подобны.