Уточнение деталей вопроса

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 27, тангенс угла BAC равен 9/40.

Ответ на вопрос

Для начала, найдем угол BAC. Так как тангенс угла BAC равен 9/40, то можно воспользоваться определением тангенса: tg(BAC) = BC/AC, где BC — противолежащий катет, AC — прилежащий катет. Подставляем значения: 9/40 = BC/AC. Так как треугольник ABC прямоугольный, то из теоремы Пифагора следует, что AC^2 = AB^2 + BC^2. Заменяем BC на 9/40*AC и получаем уравнение: AC^2 = AB^2 + (9/40*AC)^2. Решаем его относительно AB: AB = sqrt(AC^2 — (9/40*AC)^2).

Теперь найдем площадь треугольника BCP. Она равна S = 1/2*BP*PC*sin(BPC), где BP и PC — стороны треугольника BCP, а sin(BPC) — синус угла BPC. Так как угол BPC равен 90 градусов (в силу того, что CP — высота), то sin(BPC) = 1. Значит, S = 1/2*BP*PC.

Далее, воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности: r = S/p, где p — полупериметр треугольника. Так как треугольник BCP является прямоугольным, то p = (BP + PC + BC)/2 = (BP + PC + AB)/2. Подставляем значения и получаем: r = (BP*PC)/(BP + PC + AB).

Также известно, что радиус вписанной окружности равен 27. Подставляем это значение и получаем уравнение: 27 = (BP*PC)/(BP + PC + AB).

Итак, у нас есть два уравнения: AB = sqrt(AC^2 — (9/40*AC)^2) и 27 = (BP*PC)/(BP + PC + AB). Нам нужно найти BP и PC, чтобы вычислить площадь треугольника BCP и ответить на вопрос.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника BCP: BP^2 + PC^2 = BC^2. Так как треугольник BCP прямоугольный, то BC = r + PC + BP, где r — радиус вписанной окружности. Подставляем значения и получаем уравнение: BP^2 + PC^2 = (27 + PC + BP)^2.

Решаем это уравнение относительно BP: BP = (729 — 54*PC)/(2*(27 + PC)). Подставляем это значение в уравнение для радиуса вписанной окружности и получаем квадратное уравнение относительно PC: 729*PC^2 — 1458*PC*AB — 729*AB^2 = 0.

Решаем его относительно PC: PC = (1458*AB + sqrt(1458^2*AB^2 + 4*729^2*AB^2))/(2*729). Подставляем это значение в уравнение для BP и получаем: BP = (729 — 54*(1458*AB + sqrt(1458^2*AB^2 + 4*729^2*AB^2))/(2*729))/(2*(27 + (1458*AB + sqrt(1458^2*AB^2 + 4*729^2*AB^2))/(2*729))).

Теперь можем вычислить площадь треугольника BCP: S = 1/2*BP*PC = 1/2*((729 — 54*(1458*AB + sqrt(1458^2*AB^2 + 4*729^2*AB^2))/(2*729))/(2*(27 + (1458*AB + sqrt(1458^2*AB^2 + 4*729^2*AB^2))/(2*729))))*((1458*AB + sqrt(1458^2*AB^2 + 4*729^2*AB^2))/(2*729)).

Наконец, можем ответить на вопрос: площадь треугольника BCP равна S = 81.