Два равных конуса имеют общую вершину. Их боковые поверхности пересекаются по двум образующим. Докажите, что плоскость

Уточнение деталей вопроса

Два равных конуса имеют общую вершину. Их боковые поверхности пересекаются по двум образующим. Докажите, что плоскость

Ответ на вопрос

пересечения боковых поверхностей проходит через середину отрезка, соединяющего вершины конусов.

Рассмотрим два равных конуса с общей вершиной O и радиусом основания r. Пусть A и B — вершины конусов, а CD и EF — образующие, пересекающиеся в точке P. Также пусть M — середина отрезка AB.

Так как конусы равны, то их боковые поверхности подобны, а значит, угол между образующими CD и EF равен углу между образующими любой из боковых поверхностей. Обозначим этот угол через α.

Так как CD и EF пересекаются в точке P, то угол OPA равен α/2, а угол OPB также равен α/2. Таким образом, угол APB равен α.

Рассмотрим треугольник OAB. Так как AM — медиана, то OM перпендикулярен AB и делит его пополам. Также угол AOB равен 2α, так как он соответствует углу между боковыми поверхностями конусов.

Рассмотрим теперь плоскость, проходящую через точки P и M. Она пересекает боковые поверхности конусов по прямым, проходящим через точки P и M и образующим угол α. Таким образом, эта плоскость является плоскостью пересечения боковых поверхностей конусов.

Так как OM перпендикулярен AB и делит его пополам, то он также перпендикулярен плоскости OAB. Таким образом, он перпендикулярен и к плоскости пересечения боковых поверхностей конусов.

Таким образом, мы доказали, что плоскость пересечения боковых поверхностей конусов проходит через середину отрезка, соединяющего вершины конусов.