Уточнение деталей вопроса
Докажите, что если середина отрезка, соединяющего середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей, то данный четырёхугольник является параллелограммом.
Ответ на вопрос
Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором точка M — середина отрезка, соединяющего середины противоположных сторон AB и CD, совпадает с точкой пересечения диагоналей AC и BD.
Так как M — середина отрезка AB, то AM = MB, а также MC = MD, так как M — середина отрезка CD. Рассмотрим треугольники AMC и BMD. Они имеют равные стороны AM = MB и MC = MD, а также равные углы при вершине M, так как они являются вертикальными углами. Следовательно, треугольники AMC и BMD равны.
Отсюда следует, что углы AMB и CMD равны, так как они соответственные углы равных треугольников. Аналогично, углы CMA и BMD равны. Таким образом, получаем, что углы AMB и CMD, а также углы CMA и BMD равны между собой.
Рассмотрим теперь диагонали AC и BD. Они пересекаются в точке M, которая является серединой каждой из них. Таким образом, диагонали AC и BD делятся точкой M пополам.
Из свойств параллелограмма следует, что диагонали параллелограмма делятся пополам. Таким образом, если точка M является серединой диагоналей AC и BD, то диагонали AC и BD делятся пополам, что означает, что ABCD является параллелограммом.
Таким образом, если середина отрезка, соединяющего середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей, то данный четырехугольник является параллелограммом.