Уточнение деталей вопроса
Доказать, что сумма вероятностей числа появлений события в независимых испытаниях, вычисленных по закону Пуассона, равна единице. Предполагается, что испытания производятся бесчисленное количество раз.
Ответ на вопрос
Для доказательства суммы вероятностей числа появлений события в независимых испытаниях, вычисленных по закону Пуассона, необходимо использовать свойства этого закона. Закон Пуассона описывает случайные события, которые происходят с некоторой фиксированной частотой в заданном интервале времени или пространства. Вероятность того, что событие произойдет ровно k раз, вычисляется по формуле P(k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!, где λ — среднее число появлений события за заданный интервал.
Сумма вероятностей числа появлений события в независимых испытаниях равна единице, так как событие может произойти либо k раз, либо не произойти вообще. Таким образом, сумма вероятностей всех возможных исходов должна быть равна единице.
Для доказательства этого факта можно воспользоваться формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 1 + r + r^2 + … = 1 / (1 — r), где |r| < 1. Применяя эту формулу к вероятностям P(k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!, получаем: ∑ P(k) = ∑ (λ^k * e^(-λ)) / k! = e^(-λ) * ∑ (λ^k / k!) = e^(-λ) * e^λ = 1. Таким образом, сумма вероятностей числа появлений события в независимых испытаниях, вычисленных по закону Пуассона, равна единице, что и требовалось доказать.