Уточнение деталей вопроса
Даны функция издержек монополии TC=5Q+0,25Q^2 и функции спроса на двух рынках: Q1=160-P1, Q2=160-2P2. Найдите объемы продаж и цены на каждом из двух рынков, при которых прибыль монополии будет максимальной.
Ответ на вопрос
Для нахождения максимальной прибыли монополии необходимо найти точку, в которой предельный доход (MR) равен предельным издержкам (MC).
Предельный доход можно найти как производную от функции общей выручки (TR) по количеству продаж (Q):
MR = dTR/dQ
Функция общей выручки выражается как произведение цены (P) на количество продаж (Q):
TR = P * Q
Таким образом,
MR = d(P * Q)/dQ = P + Q * dP/dQ
Предельные издержки можно найти как производную от функции общих издержек (TC) по количеству продаж (Q):
MC = dTC/dQ
TC = 5Q + 0,25Q^2
Таким образом,
MC = d(5Q + 0,25Q^2)/dQ = 5 + 0,5Q
Для нахождения оптимального объема продаж и цены на каждом из двух рынков необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений функций спроса и уравнения, связывающего предельный доход и предельные издержки:
Q1 = 160 — P1
Q2 = 160 — 2P2
P1 + Q1 * dP1/dQ1 = MC
P2 + Q2 * dP2/dQ2 = MC
Для решения системы уравнений необходимо найти производные цен по количеству продаж:
dP1/dQ1 = -1/2
dP2/dQ2 = -1/4
Подставляя значения производных и функций спроса в уравнения, получаем:
P1 + (160 — P1) * (-1/2) = 5 + 0,5Q1
P2 + (160 — 2P2) * (-1/4) = 5 + 0,5Q2
Решая систему уравнений, получаем:
P1 = 70
Q1 = 90
P2 = 50
Q2 = 110
Таким образом, монополия должна продавать 90 единиц товара на первом рынке по цене 70 и 110 единиц товара на втором рынке по цене 50, чтобы получить максимальную прибыль.