Уточнение деталей вопроса

Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки

Ответ на вопрос

Для начала, заметим, что из условия следует, что все четыре точки лежат на одной окружности. Действительно, если бы две точки не лежали на одной окружности, то прямая, проходящая через них, пересекалась бы с прямой, проходящей через другие две точки.

Пусть A, B, C, D — четыре точки, лежащие на одной окружности. Рассмотрим две диагонали четырехугольника ABCD: AC и BD. Они пересекаются в точке O.

Так как прямая, проходящая через точки A и B, не пересекается с прямой, проходящей через точки C и D, то эти две прямые параллельны. Аналогично, прямые AB и CD, а также AD и BC, также параллельны.

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, так как AO = BO (они равны радиусу окружности). Значит, углы AOB и BOA равны между собой. Аналогично, углы COD и BOC равны между собой.

Таким образом, мы получили, что углы AOB и COD равны между собой, а углы BOA и BOC также равны между собой. Значит, треугольники AOB и COD подобны, а треугольники BOA и BOC также подобны.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин отрезков AB и CD равно отношению длин отрезков AO и CO (или BO и DO). Аналогично, отношение длин отрезков AD и BC равно отношению длин отрезков AO и BO (или CO и DO).

Таким образом, мы получили, что отношения длин всех четырех отрезков равны между собой. Это означает, что четырехугольник ABCD является равнобоким трапецией.

Итак, мы доказали, что если даны четыре точки, прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки, то эти четыре точки лежат на одной окружности и образуют равнобокую трапецию.