Четыре окружности расположены на плоскости таким образом, что каждая касается ровно двух других внешним образом. Докажите, что четыре точки попарного касания этих окружностей лежат на одной окружности.

Уточнение деталей вопроса

Четыре окружности расположены на плоскости таким образом, что каждая касается ровно двух других внешним образом. Докажите, что четыре точки попарного касания этих окружностей лежат на одной окружности.

Ответ на вопрос

Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться теоремой о касательных, проведенных к окружности из точки ее касания. Пусть A, B, C и D – центры четырех окружностей, а P, Q, R и S – точки их попарного касания. Тогда, по условию, каждая из точек P, Q, R и S является точкой касания двух окружностей. Рассмотрим, например, точку P. Из нее проведем касательные к окружностям с центрами A и B. По теореме о касательных эти касательные будут перпендикулярны к радиусам, проведенным в точки касания. Значит, угол APB будет прямым. Аналогично, углы BQC, CRD и DSA также будут прямыми. Таким образом, точки P, Q, R и S лежат на окружности, проходящей через центры окружностей A, B, C и D. Доказательство аналогично для других точек касания. Таким образом, мы доказали, что четыре точки попарного касания лежат на одной окружности.