Уточнение деталей вопроса
Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) прямая AD перпендикулярна плоскости
Ответ на вопрос
ABM; 2) угол между прямыми BM и CD равен углу между прямыми AM и BC.
1) Для доказательства перпендикулярности прямой AD плоскости ABM достаточно показать, что она перпендикулярна к двум ее непараллельным прямым. Рассмотрим прямые BM и AM. Они лежат в плоскости ABM и пересекаются в точке M, через которую проведена прямая ВМ, перпендикулярная плоскости квадрата. Значит, угол между прямыми BM и AM равен 90 градусов. Таким образом, прямая AD, проходящая через вершину квадрата, перпендикулярна плоскости ABM.
2) Рассмотрим угол между прямыми BM и CD. Он равен углу между их проекциями на плоскость ABM. Проекциями этих прямых на плоскость ABM являются соответственно отрезки BN и CM, где N и С — проекции точек В и D на плоскость ABM. Таким образом, угол между прямыми BM и CD равен углу между отрезками BN и CM.
Рассмотрим теперь угол между прямыми AM и BC. Он также равен углу между их проекциями на плоскость ABM. Проекциями этих прямых на плоскость ABM являются соответственно отрезки AN и BM, где N и М — проекции точек А и С на плоскость ABM. Таким образом, угол между прямыми AM и BC равен углу между отрезками AN и BM.
Заметим, что треугольники ABN и CBM подобны, так как углы при вершинах B и M равны (они соответственно равны углам при вершинах A и N). Значит, отрезки BN и BM пропорциональны соответственным сторонам этих треугольников, то есть BN/BM=AB/BC.
Аналогично, треугольники ACM и CDM подобны, так как углы при вершинах C и M равны (они соответственно равны углам при вершинах A и D). Значит, отрезки CM и CD пропорциональны соответственным сторонам этих треугольников, то есть CM/CD=AC/AD.
Из этих двух пропорций следует, что BN/CM=AB/AC*CD/BC. Но так как треугольники ABN и CBM подобны, то BN/BM=AB/BC. Аналогично, так как треугольники ACM и CDM подобны, то CM/CD=AC/AD. Подставляя эти равенства в предыдущее выражение, получаем AB/AC*CD/BC=AB/BC*AC/AD, откуда следует, что угол между прямыми BM и CD равен углу между прямыми AM и BC.