Уточнение деталей вопроса
Через конец А отрезка АВ длины b проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой равно а
Ответ на вопрос
от точки А до этой прямой.
Рассмотрим треугольник АВС, где С – точка пересечения прямой и плоскости, проходящей через конец А отрезка АВ. Так как плоскость перпендикулярна отрезку АВ, то она также перпендикулярна к его продолжению. Значит, угол АСВ прямой. Также угол АСА’ прямой, где А’ – проекция точки С на отрезок АВ. Тогда угол ВСА’ также прямой.
Таким образом, треугольник АСА’ – прямоугольный. Расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку С, равно длине отрезка АА’. Он равен проекции отрезка СА на отрезок АВ.
Пусть h – искомое расстояние. Тогда, по теореме Пифагора,
h^2 = b^2 — AA’^2
AA’ = AB * AC / BC = AB * h / b
Тогда
h^2 = b^2 — (AB * h / b)^2
h^2 = b^2 — AB^2 * h^2 / b^2
h^2 + AB^2 * h^2 / b^2 = b^2
h^2 (1 + AB^2 / b^2) = b^2
h = b / sqrt(1 + AB^2 / b^2)
Таким образом, расстояние от точки А до прямой, проведенной в плоскости, перпендикулярной отрезку АВ, равно b / sqrt(1 + AB^2 / b^2).