Уточнение деталей вопроса

Биссектриса угла В параллелограмма ABCD пересекает его сторону AD в точке М, а продолжение стороны CD за точку D — в точке К. Найдите длину отрезка DK, если АМ = 8 см, а периметр параллелограмма равен 50 см

Ответ на вопрос

Пусть $BC=a$, $AB=b$, $CD=c$, $AD=d$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $ABparallel CD$ и $BCparallel AD$. Значит, $angle BCD=angle BAD$ и $angle BDC=angle ADB$. Пусть $BK=x$. Тогда $CK=c-x$ и $BD=a-x$. По теореме синусов в треугольнике $ABD$:
$$frac{d}{sinangle ABD}=frac{b}{sinangle BAD}.$$
Аналогично, в треугольнике $BCD$:
$$frac{c}{sinangle BCD}=frac{a}{sinangle BDC}.$$
Так как $angle BCD=angle BAD$, то $sinangle BCD=sinangle BAD$. Подставляя выражения для синусов и учитывая, что $angle ABD+angle BDC=180^circ$, получаем:
$$frac{d}{b}=frac{c}{a-x}.$$
Отсюда $x=a-frac{bc}{d}$. Так как $AM$ — биссектриса угла $B$, то $frac{BM}{MD}=frac{AB}{AD}=frac{b}{d}$. Значит, $MD=frac{d}{b}(d-8)$. Так как $DK=DC+CK=c-x$, то
$$DK=c-a+frac{bc}{d}.$$
Периметр параллелограмма равен $2(a+b)=50$, откуда $a+b=25$. Так как $ABparallel CD$, то $ABCD$ — трапеция, и $AD=BC$. Значит, $2d=a+c$. Подставляя выражения для $x$ и $MD$, получаем:
$$DK=c-a+frac{bc}{d}=c-a+frac{bc}{b+(a-c)/2}=c-a+frac{2bc}{a+c-2d+16}.$$
Подставляя $a+c=2d$, получаем:
$$DK=c-a+frac{2bc}{16}=c-a+frac{bc}{8}.$$
Осталось подставить известные значения $a+b=25$ и $d=2a$:
$$DK=c-a+frac{bc}{8}=c-(25-c)+frac{bc}{8}=2c-25+frac{bc}{8}.$$
Ответ: $DK=2c-25+frac{bc}{8}$.